17.Упругие соударения. Реактивное движение

В случае упругого соударения двух тел массами m ₁ m ₂ , скорости которых направлены по одной прямой и равны до соударения v _1н и v _2н , а после соударения - v _1к и v _2к , можно записать два закона сохранения:

(17.1)

(сохранение импульса),

(17.2)

(сохранение энергии).

Из уравнений (17.1) и (17.2) получаем :

или

(17.3)

Это означает, что относительные скорости тел до соударения и после соударения равны по величине и противоположны по знаку.

Если две частицы одинаковой массы сталкиваются, имея равные по величине и противоположно направленные скорости, то после соударения они разлетаются с равными по величине скоростями. Если одна частица догоняет другую частицу той же массы, после соударения обе частицы продолжают двигаться в ту же сторону.

Реактивное движение. Закон сохранения импульса позволяет объяснить и получить основные уравнения, описывающие реактивное движение. Главной особенностью движения ракеты является то, что это движение тела с переменной массой. Выбрасывая ежесекундно определенную часть массы в виде газов сгоревшего топлива, ракета разгоняется. Чтобы учесть переменность массы ракеты, следует воспользоваться уравнением Ньютона в форме: D p/ D t = 0 .

Здесь D p = p2 - p1 - разность конечного и начального импульсов системы, состоящей из ракеты и испущенных за время D t газов. Предполагается для простоты, что на ракету не действуют внешние силы (конечно, это не так, тяготение Земли очень важно, но в этом случае уравнения сильно усложняются). Введем обозначения : m - масса ракеты вместе с топливом , v _р - скорость ракеты относительно

Земли, v _г - скорость газов относительно Земли, v _гр - скорость газов относительно ракеты,  D _mг - масса газа, вытекшего из сопла ракеты за время D t и равная уменьшению полной массы ракеты за это же время.

Начальный импульс ракеты вместе с топливом относительно Земли в произвольный момент времени равен

(17.4)

Через время D t масса ракеты становится равной m -  D _mг , скорость ракеты относительно Земли получает приращение и становится равной v _р  +  D _vр . Таким образом, суммарный импульс ракеты и выброшенных газов относительно Земли равен

Принято выражать скорость газов относительно Земли через их скорость относительно ракеты (скорость истечения) v _гр с помощью закона сложения скоростей: v _г  = v _гр  + v _р . Это векторное равенство, и так как в большинстве случаев скорость истечения газов противоположна скорости ракеты, то |v _г | < |v _гр | . Подставляя это равенство в выражение для импульса системы, получаем

(17.5)

Преобразовывая уравнения (17.4) и (17.5) получаем дифференциальное уравнение

(17.6)

Оно носит имя нашего великого соотечественника К. Э. Циолковского. Интегрируя обе части уравнения в предположении постоянства скорости истечения газов v _гр , находим закон возрастания скорости ракеты:

(17.7)