Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s ¹ , I ⁿ _m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L ₁ Класс функций, получаемый из функций s ¹ , I ⁿ _m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L ₂ Класс функций, получаемый из функций s ¹ , I ⁿ _m , x-y, 2 ^x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L ₃ Класс функций, получаемый из функций s ¹ , I ⁿ _m , x-y, x*y, 2 ^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L ₄ Класс функций, получаемый из функций s ¹ , I ⁿ _m , x-y, x+y 2 ^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L ₅ Класс функций, получаемый из функций s ¹ , I ⁿ _m , x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L ₁  L ₂  L ₃  L ₄  L ₁

2. L ₁  L ₅

3. L ₅  L ₃

Докажем, что L ₁  L ₂ (для этого выразим 2 ^x через функции L ₁ )

Докажем, что L ₂  L ₃ (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L ₂ )

Пусть

тогда

Докажем, что L ₃  L ₄ (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L ₃ )

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

Пусть

тогда

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L ₄  L ₁ (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L ₄ )

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

Где (x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

Докажем, что L ₁  L ₅ (для этого выразим x*y через функции L ₅ )

Докажем, что L ₅  L ₃ (для этого выразим 2 ^x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L ₅ )

Пусть

тогда

Эквивалентность классов доказана.