На главную | Каталог статей | Карта сайта

Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами 

 

Оглавление.

Наименование

Введение

§ 1. Некоторые вспомогательные определения

§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности

§ 3. Обобщение теоремы Джексона

§ 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна

§ 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию

§ 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена

§ 7. Основная теорема

§ 8. Решение задач

Литература

Введение

Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.

Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.

В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:

  1. При каких ограничениях на непрерывную функцию F ( u ) (-1 Ј u Ј +1) её наилучшие приближения E n [ F ;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j ( n -1 )?
  2. При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f ( x ) её наилучшее приближение E n [ f ] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j ( n -1 )?

Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.

Мы ограничимся случаем, когда j ( d ) О N a , для некоторого a , где j ( d ) - функция сравнения р-го порядка и для 0< d < h Ј p

С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для E n [ f ] и дифференциальными свойствами f . Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками E n [ f ] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:

,

где m - некоторое число.

Наша основная теорема формулируется следующим образом:

Пусть j О N a . Для того чтобы

необходимо, чтобы для любого натурального k> a , и достаточно, чтобы для некоторого натурального k> a

где

Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.

В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.

В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.

§ 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то

Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.

В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть

Тогда

В § 3 доказываем:

(*)

В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5.

В § 5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином t n , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов { t n } достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f . Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами t n ?

Если t n , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n . ( f О H k [ w ], если ).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n .

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы

.

§ 6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

.

Тогда, если a не целое, r= [ a ], b = a - r , то f имеет нерперывную производную .

Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае

.

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0< a < k и

.

Тогда

.

В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .

Мы переносим эти теоремы на условия вида

,

где j О N a .

Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

;

для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

.

В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.

В § 7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку E n [ f ] снизу, если

.

Именно, тогда

Случай a =0 установлен С.Н.Бернштейном [3].

В § 8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.

§ 1. Некоторые вспомогательные определения.

В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через t n ( x ) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n , а через t n * ( x ) =t n * ( x,f )-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех t n (x) . Мы полагаем и пишем

Введём ряд определений.

Определение 1. При каждом фиксированном классом Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f , модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию

где С 8 -какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается H a или Lip a.

Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W (r) L класс функций f , которая имеет абсолютно непрерывные производные до ( r- 1) порядка и у которой r -я производная принадлежит классу L .

Определение 3. Для непрерывной на [ a,b ] функции f ( x ) назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w ( d ) =w ( f; d ) , определённую на [ 0, b-a ] при помощи следующего равенства:

(1.1)

или, что то же самое,

(1.1’)

Свойства модуля непрерывности :

  1. w(0)=0;
  2. w(d) есть функция, монотонно возрастающая;
  3. w(d) есть функция непрерывная;
  4. w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых и

(1.2)

Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.

Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h . Свойство 4) следует из того, что если мы число представим в виде h=h 1 +h 2 , и , то получим

Из неравенства (1.2) вытекает, что если то т.е.

(1.3)

Теперь докажем свойство 3). Так как функция f ( x ) равномерно непрерывна на [ a,b ], то при и, следовательно, для любых d ,

при

а это и означает, что функция w(d) непрерывна.

Определение 4. Пусть функция f ( x ) определена на сегменте [ a,b ] . Тогда для любого натурального k и любых и h>0 таких, что k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина

(1.4)

а при и h>0 таких, что k-й симметричной разностью - величина

(1.4’)

Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство

(1.5)

Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k

то

Лемма доказана.

Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:

(1.6)

Доказательство. Воспользуемся индукцией по k . При k= 1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:

.

Предполагая его справедливость при k- 1 ( k і 2), получим

Лемма доказана.

Определение 5. Если измеримая периода ( b-a ) функция f ( x ) О L q ( L q -класс всех вещественных измеримых на [ a,b ] функции f ( x )), то под её интегральным модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию

Лемма 3. Если то справедливо

(1.7)

Доказательство. В самом деле,

и так далее. Лемма доказана.

Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [ a,b ], то под её модулем гладкости порядка k і 1 понимают функцию

заданную для неотрицательных значений и в случае, когда k =1, представляющую собой модуль непрерывности.

Свойства модулей гладкости:

    1. есть функция, монотонно возрастающая;
    2. есть функция непрерывная;
    3. При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство

(1.8)

а при любом -неравенство

(1.8’)

5) Если функция f ( x ) имеет всюду на [ a,b ] непрерывные производные до ( r- 1)-го порядка, и при этом ( r-1 )-я производная , то

(1.9)

Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что

2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.

3) Предполагая для определённости, что d>d , получим

Этим непрерывность функции w k ( d ) доказана.

4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем

Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции w k ( t ) и неравенства (1.8).

5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, получим

Определение 7. Пусть k -натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k -го порядка функции f , если

где -конечная разность функции f k -го порядка с шагом h :

Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k= 1 и k= 2. Случай k= 1 является классическим; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывности ; функцию мы будем называть модулем гладкости .

Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k- го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:

    1. определена для ,
    2. не убывает,
    3. ,

Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция сравнения k- го порядка (см. Лемму 5 § 2).

Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k -го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С 10 >0 такая, что

Вместо будем писать просто H k a .

Если для последовательности функций { f n } (n=1,2,...)

где С 10 не зависит от n , то будем писать: равномерно относительно n .

Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k -ю производную.

Определение 10. Зафиксируем число a >0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a ( p=- [- a ]). Будем говорить, что функция принадлежит к классу , если она

1) есть функция сравнения p -го порядка и

2) удовлетворяет условию: существует константа С 11 >0 такая, что для

Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса N a будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.

Определение 11. Будем говорить, что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С 12 и С 13 такие, что для всех t , для которых определены функции и ,

.

При выполнении этих условий будем писать

.

Определение 12. Ядром Дирихле n -го порядка называется функция

(1.10)

Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом

(1.10’)

Определение 13. Ядром Фейера n -го порядка называется функция

(1.11)

Ядро Фейера F n ( t ) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка ( n-1 ). Так что имеют место равенства

(1.11’)

(1.11’’)

где D k ( t )-ядра Дирихле.

Определение 14. Ядром Джексона n -го порядка называется функция

(1.12)

Свойства ядер Джексона.

а) При каждом n ядро J n ( t ) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2 n -2 вида

,

где j k =j k ( n ) - некоторые числа

б)

в)

г)

Доказательство.

а) Учитывая, что для ядер F n ( t ) Фейера имеют место равенства

получим

где j k ( k =1,2,...,2 n -2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем

Этим свойство а) доказано.

б) Это равенство следует из равенства, полученного для j 0 .

в) Так как при любом и при ( ** ), то

г) Совершенно аналогично случаю в) получим

Что и требовалось доказать.

Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция

, (1.13)

n =1,2,3,..., k -натуральное, где

(1.13’)

Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:

а)

б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро J n,k ( t )

является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k ( n -1)

в) n 2k- 1 , т.е. существуют постоянные С 14 > 0 и С 15 >0, такие, что при всех n =1,2,3,... будет

г) При любом s >0 имеет место неравенство

д) При любом натуральном

Доказательство свойств ядер типа Джексона.

а) Это свойство вытекает из равенств определения

б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет

(1.14)

где - некоторые целые числа.

в) Учитывая неравенства (**), будем иметь

(1.15)

С другой стороны

(1.15‘)

г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)

д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)

(1.16)

где A-const , а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sin t Ј t , при всех t і 0 (***), имеем

(1.16‘)

A 1 -const . Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.

 

 

§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f 1 , f 2 , ... - непрерывны.

ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого d і 0

(2.1)

Доказательство: по определению,

Лемма доказана.

ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l<k. Тогда для любого d і 0

(2.2)

и

(2.3)

Доказательство: Положим

Тогда для 0 Ј l<k имеем

откуда

Отсюда при l =0 вытекает, что

,

а при 0< l < k

Полагая в (2.3) l =1, находим, что

Из этого неравенства видно, что для любого натурального k

. (2.4)

ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k -го порядка является непрерывной функцией от d .

Доказательство: Пусть Имеем

Отсюда

и

Таким образом

и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.

ЛЕММА 4. Пусть k и p -натуральные числа. Тогда для любого d і0

(2.5)

Доказательство: Индукция по k даёт формулу

Отсюда

и

Лемма доказана.

ЛЕММА 5. Пусть k -натуральное число, d >0, h >0. Тогда

(2.6)

Если кроме того 0< d < h , то

(2.7)

Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd . Найдём натуральное число p из условий

(2.8)

Тогда h< p d -1 , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим

Рассмотрим случай для h<d . Найдём натуральное число p из условий

(2.9)

Тогда h< p d , и так как -является неубывающей функцией от h , то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим

,

и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+hЈ2h для 0< d < h .

Неравенство (2.7) показывает, что для любой f є 0 и любого натурального k

(2.10)

Лемма доказана.

ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f (r) . Тогда

(2.11)

и для любого натурального k

(2.12)

Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы

Если k =0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.

 

§3 . Обобщение теоремы Джексона.

Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.

Лемма 7. Пусть дано натуральное число k . Существует последовательность ядер {K n ( t )}( n =0,1,...), где K n ( t ) есть тригонометрический полином порядка не выше n , удовлетворяющая условиям:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер K n ( t ) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить

где k 0 -целое, не зависит от n , натуральное p определяется из неравенства

,

а b p выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).

Лемма 8. Если последовательность ядер { K n ( t )} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то

(3.4)

Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть k -натуральное число. Тогда

(3.5)

Доказательство. Пусть последовательность ядер { K n ( t )} ( n =1,1,2,...) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим

Очевидно, есть тригонометрический полином порядка не выше n -1. Оценим Имеем

Поэтому

(3.6)

Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) , получим, что

Отсюда и из (3.4) следует:

Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Пусть k -натуральное число, r -целое неотрицательное. Тогда

(3.7)

В самом деле, согласно (2.12)

и применение теоремы 1 даёт (3.7).

 

§4 . Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна.

В этом параграфе формулируется одно обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для производных от тригонометрического полинома.

Теорема 2. Пусть . Тогда для любого натурального k

(4.1)

и неравенство обращается в неравенство в том и только в том случае, если

Доказательство этого неравенства опубликовано в работе С.Б.Стечкина [2].

Отметим несколько следствий из этого неравенства.

Следствие 2.1. (неравенство С.Н.Бернштейна):

(4.2)

Полагая в (4.1) , получаем

(это неравенство доказано С.М.Никольским [5]) но по лемме 2 §2 ,

откуда и следует (4.2).

Два последних неравенства одновременно обращаются в равенство только в случае, если

Следствие 2.2. Пусть . Тогда

(4.3)

Первое неравенство совпадает с утверждением теоремы 2, а второе вытекает из оценки

(4.4)

Таким образом, для средний член в (4.3) заключен между двумя пределами, зависящими только от q .

Следствие 2.3. Пусть . Тогда

(4.5)

В частности,

(4.6)

Следствие 2.4. Пусть Тогда

(4.7)

В частности, для имеем

(4.8)

В самом деле, из (4.4) или (2.12) следует:

и остается воспользоваться неравенством (4.5).

Следствие 2.5. Пусть Тогда

. (4.9)

Вторая половина неравенства совпадает со следствием 2.4, а первая непосредственно вытекает из (2.7).

 

§5 . Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию.

В этом параграфе устанавливается, что если тригонометрический полином t n ( x ) близок к заданной функции f , то его модули непрерывности можно оценить через модули непрерывности f .

Теорема 3. Зафиксируем натуральные числа k и n и пусть

(5.1)

Тогда для любого

(5.2)

(5.3)

(5.4)

и

(5.5)

Предварительные замечания. Неравенства (5.2) и (5.4) предпочтительнее для больших d , а (5.3)-для малых. Если , то (5.2) сильнее, чем (5.4); однако (5.4) имеет более симметричную форму и часто удобнее в приложениях.

Доказательство. Докажем (5.2). Пользуясь (2.1), (2.2) и (5.1), имеем

Докажем (5.5). Положим в (5.2) . Тогда получим :

после чего (4.5) даёт (5.5).

(5.3) следует из (5.5) в силу (2.11).

Остаётся доказать (5.4). Пусть сперва . Тогда из (5.4) следует:

Рассмотрим, наконец, случай . Из неравенства (2.7) выводим

Подставляя эту оценку в (5.3), получаем (5.4) для .

Таким образом, теорема полностью доказана.

Следствие 3.1. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

(5.6)

Тогда для любого d >0

(5.7)

равномерно относительно n .

Следствие 3.2. Пусть для некоторого натурального k и любого натурального n

Тогда

(5.8)

Теорема 4. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

(5.9)

равномерно относительно n.

Это вытекает из теоремы 1, следствия 3.1 и того замечания что если выполнено условие (5.9), то .

Теорема 5. Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы

(5.10)

Это доказывается аналогично теореме 4, только вместо следствия 3.1 нужно воспользоваться следствием 3.2.

Неравенства теоремы 3 имеют тот недостаток, что их правые части явно зависят от константы С 20 . Таким образом, если вместо фиксированного номера n и одного полинома t n рассматривать последовательность полиномов { t n } ( n =1,2,...), то С 20 окажется, вообще говоря, независящей от n и теорема 3 даёт оценки, не равномерные относительно n . Покажем как избавиться от этого неудобства.

Теорема 6. Пусть для некоторого натурального k

(5.11)

и

(5.12)

Тогда для любого d >0

(5.13)

равномерно относительно n .

Доказательство. Пусть сперва . Из неравенства (5.2) следует, что

и на основании (5.11)

(5.14)

Рассмотрим случай . Положим в (5.14) . Тогда получим

Из этого неравенства, в силу (4.7), следует, что

Но так как, по условию, , то

Отсюда

Окончательно,

и теорема доказана.

В следующем параграфе будет показано, как можно видоизменить ограничения (5.11) теоремы 6.

 

§6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и

Ш. Валле-Пуссена.

В этом параграфе обобщаются и уточняются так называемые “обратные теоремы” теории приближения. Речь идёт об оценке дифференциальных свойств функции f , если известны свойства последовательности её наилучших приближений { E n }.

Лемма 9. Зададим натуральное число k , и пусть

(6.1)

и

. (6.2)

Тогда

(6.3)

Доказательство. Имеем, согласно (2.1),

Но из (2.10) и (6.2) получаем

а из (2.2) и (6.1)

Поэтому

левая часть этого неравенства не зависит от n , а поэтому

и лемма доказана.

Для получения хороших оценок обычно достаточно взять . Однако на исключена возможность, что в некоторых случаях другой выбор может оказаться предпочтительнее.

Теорема 7. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и

(6.4)

Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.5)

Доказательство. Необходимость условия (6.5) вытекает из следствия 3.2. Установим его достаточность, для чего воспользуемся леммой 9. Получаем:

Положим здесь ; тогда для будем иметь и поэтому

и теорема доказана.

Отметим два следствия из этой теоремы.

Следствие 7.1. Пусть k -натуральное число, функция не убывает и

(6.6)

Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.7)

Следствие 7.2. Пусть k -натуральное число и Если

и

(6.8)

то

равномерно относительно n .

Это вытекает из теорем 7 и 6.

Теорема 7 показывает, что нужно добавить к условию (6.4), чтобы получить . Теперь мы получим оценки для , исходя только из условий вида (6.4). Попутно выясняется, что при некоторых дополнительных ограничениях на функцию условие (6.5) становится излишним. Суть дела в том, что при этих ограничениях (6.4) влечёт (6.5).

Лемма 10. Пусть

(6.9)

где . Тогда для любого натурального k

(6.10)

Доказательство. Зафиксируем натуральное число n , определим натуральное p из условий

и построим последовательность номеров положив

Для оценки представим в таком виде:

Так как , то отсюда

(6.11)

Оценим U l (k) . Имеем для l= 1,2,..., p

откуда

Но есть тригонометрический полином порядка не выше n l . Поэтому по неравенству С.Н. Бернштейна,

(6.12)

Заметим теперь, что, в силу определения последовательности { n l },

и для

Поэтому, пользуясь ещё монотонностью последовательности { F n } 2 находим, что для

(6.13)

При помощи (6.11), (6.12) и (6.13) находим окончательно:

и лемма доказана.

Теорема 8. Для любого натурального k и любого

(6.14)

Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем:

Если , то . Кроме того,

Поэтому для

и теорема доказана.

Мы обращаемся теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких ограничениях на { E n } условие (6.4) влечёт

Теорема 9. Зададим натуральное число k ; пусть и . Для того чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

(6.15)

Доказательство. Необходимость условия (6.15) вытекает из теоремы 1. Докажем его достаточность. Согласно теореме 8, для

Положим здесь и заметим, что тогда для и, в силу условия ,

Поэтому для

и теорема доказана.

Следствие 9.1. Пусть и . Тогда для всех натуральных классы эквивалентны.

Следствие 9.2. Пусть и . Если

то для любого фиксированного натурального

равномерно относительно n .

Рассмотрим теперь следующий вопрос. как связаны приближения функции f с приближениями и дифференциальными свойствами её производных f (r) ?

Теорема 10. Зададим натуральное число r, и пусть

(6.16)

где

(6.17)

Тогда f имеет непрерывную производную f (r) и

(6.18)

С.Н.Бернштейн [3] доказал такую теорему: если ряд сходится, то функция f имеет непрерывную производную f (r) . Рассмотрение этого доказательства С.Н.Бернштейна показывает, что на самом деле им установлено следующее, более общее предложение: пусть выполнены условия (6.16) и (6.17). Тогда функция f имеет непрерывную производную f (r) и равномерно относительно x . В ходе доказательства теоремы 10 мы вновь установим это предложение.

Доказательство. при . Поэтому равномерно относительно x . Отсюда следует, что если { n k } ( k =0,1,2,...) есть возрастающая последовательность номеров, то

Зафиксируем натуральное число n и положим

Тогда будем иметь

(6.19)

где

Докажем, что формулу (6.19) можно продифференцировать почленно r раз, т.е.

(6.20)

Для этого достаточно установить, что ряд справа равномерно сходится. Прежде всего, оценим . Имеем

откуда

Оценим теперь . По неравенству С.Н.Бернштейна,

Пользуясь этой оценкой, получаем:

Но

Поэтому

(6.21)

Итак, доказана сходимость ряда , а вместе с этим установлена и формула (6.20). Из (6.20) и (6.21) вытекает, что

и теорема доказана.

В некоторых случаях оценка (6.18) может быть упрощена. Пусть, например,

(6.22)

Тогда

Поэтому при выполнении условия (6.22) вместо (6.18) можно написать

Следствие 10.1. Пусть r -натуральное число и сходится ряд

Тогда

(6.23)

Теорема 11. Пусть r -натуральное число и для функции f сходится ряд

Тогда для любого натурального k и любого

(6.24)

Доказательство. Имеем

Отсюда, по лемме 10,

Далее, согласно теореме 10,

Воспользуемся теперь леммой 9. Получаем

Заметим, что

Таким образом, если , то

и теорема доказана.

§7. Основная теорема.

Обратимся теперь к рассмотрению следующего вопроса: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы

где -заданная невозрастающая функция?

Насколько нам известно, эта задача не была до сих пор решена даже для случая . Мы решим её для функций сравнения .

Лемма 11. Пусть и для некоторого натурального

(7.1)

Тогда существует такая константа с >0, что

(7.2)

Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С 60 >0 и C 61 >0, что

(7.3)

Последнее из этих неравенств, теорема 1 и теорема 3 влекут неравенство

(7.4)

В силу (2.1) и (2.2), имеем

Отсюда

Пользуясь (7.3) и (7.4), находим, далее

(7.5)

Вспомним теперь, что . Это даёт нам для

Подставляя эту оценку в (7.5), получаем

(7.6)

Мы можем без ограничения общности считать, что здесь . Положим в (7.6)

Тогда получим окончательно

и лемма доказана.

Основная теорема. Пусть . Для того чтобы

(7.7)

необходимо, чтобы для всех натуральных , и достаточно, чтобы для некоторого натурального

. (7.8)

Доказательство. Пусть имеет место (7.7), т.е. найдутся две положительные константы С 67 и С 68 , для которых

(7.9)

Тогда, по теореме 1 и в силу первой половины неравенства (7.9), для любого k имеем

т.е.

Отсюда, в силу ,

и если , то, ввиду монотонности и ,

Далее, из второй половины неравенства (7.9) и теоремы 9 вытекает существование константы С 72 такой, что для любого

Этим заканчивается доказательство необходимости условия (7.8).

Пусть имеет место (7.8):

(7.10)

с С 73 >0. Тогда по теореме 1 и в силу второй половины неравенства (6.10),

а по лемме 11,

где С 77 >0.

Таким образом, установлена достаточность условия (7.8), и основная теорема полностью доказана.

Приведём в заключение обобщение леммы 11 на тот случай, когда оценки сверху и снизу имеют разные порядки.

Теорема 12. Пусть и

(7.11)

Тогда

(7.12)

Доказательство. Имеем, как при доказательстве леммы 11,

Положим здесь

Тогда получим, что

Теорема доказана.

 

§8. Решение задач.

Пример 1. Пусть Тогда при каждом

Пример 2. Пусть график функции f ( x ) имеет вид, изображённый на рис.8.1. Тогда график функции показан на рис.8.2.

Рис. 8.1. Рис. 8.2.

Пример 3. Пусть при

и пусть - периодическое продолжение функции на всю ось.

Рис. 8.3.

Рис. 8.4.

Тогда если функцию рассматривать на сегменте длины так, что (рис. 8.3)

то (рис. 8.4)

т.е. модуль непрерывности функции в точке не достигает своего наибольшего значения и, следовательно, отличается от модуля непрерывности этой функции на всей оси.

Пример 4. При функция

является модулем непрерывности.

Пример 5 . При функция

является модулем непрерывности.

Пример 6. При имеем так что при всех будет

.

Литература.

  1. Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Доклады Ак. Наук СССР,-1947.-№57.-с.111-114.
  2. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.
  3. Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Сообщ. Харьк. Матем. о-ва (2), -1912.-№13.-с.49-144.
  4. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной. Часть I,-М.-Л.,-1937.
  5. Никольский С. Обобщение одного неравенства С.Н.Бернштейна // Доклады Ак. Наук СССР,-1948.-№65.-с.135-137.
  6. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций.-М.-Л.,-1934.
  7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. -М.: Наука.-1977.-с.512.
  8. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Доклады Ак. Наук СССР,-1949.-№65.-с.135-137.
  9. Тиман А.Ф. Теория приближения функций функций действительного переменного. -М.:ГИФМЛ,-1960.-с. 624.
  10. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций.-М.:ГИТТЛ,-1947.-324.
  11. Арестов В.В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Математические заметки,-т.22.-1977.-№2.-с.231-243.
  12. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР-Математика,-1931.-№15.-с.219-242.




На главную | Каталог статей | Карта сайта



При любом использовании материалов установите обратную ссылку на своем сайте.
<a href="http://lovi5.ru/" target=_blank>Рефераты, шпаргалки</a>