Модуль величины. Графики выражений, содержащих модули

• Модулем числа а называется величина, обозначаемая |а| и такая, что

Полезно также напомнить следующее. Пусть заданы функция у - f(x) и ее график. Тогда выражения у = |f(x)|, у = f(|x|) и |у| = f(x) определяются следующим образом:

Графики функции у = f(x) и этих выражений приведены ниже.

Графики соотношений, содержащих большее число знаков модуля, строим, последовательно выполняя приведенные выше построения.

В заданиях 1—6 постройте графики следующих функций и уравнений:

а) у = f(x);

б) у = |f(x)|;

в) у = f(|x|);

г) |у| = f(x);

д) у = |f(|х|)|;

е) |у| = f(|х|);

ж) |у| = |f(x)|

з) |у| = |f(|x|)|

Задание 1.

у = 2х-3

Ответ:

Задание 2.

у = 3-х

Задание З.

у = х²- 4х + 3

Ответ:

Задание 4.

у = 3х- х²

Задание 5.

Ответ:

Задание 6.

Ответ:

Постройте графики следующих функций и уравнений (7-26):

Задание 7.

у = |х|(х - 2)

Ответ:

Задание 8.

у = х|х - 3|

Ответ:

Задание 9.

у = 2|х + 2| - х - 3| - х

Ответ:

Задание 10.

у = -|х + 2| + 2|х - 1| + х

Ответ:

Задание 11.

Ответ:

Задание 12.

Ответ:

Задание 13.

Ответ:

Задание 14.

Ответ:

Задание 15.

Ответ:

Задание 16.

Ответ:

Задание 17.

|x| + 2|y| = 4

Ответ:

Задание 18.

|x - 2| + 2| у + 1| = 4

Ответ:

Задание 19.

|x + 2| - |y + 1| = 2

Ответ:

Задание 20.

2|x - 2| - |y + 1| = 3

Ответ:

Задание 21.

|x + у| + |x - y| = 6

Ответ:

Задание 22.

|x + 2y| + |2x -y| = 6

Ответ:

Задание 23.

|2x + y| + |x - у - 3| = 1

Ответ:

Задание 24.

|x - 2y + 1| + |y + 2x - 3| = 5

Ответ:

Задание 25.

(|х| - 1)²+ (у - 2)² = 4

Ответ:

Задание 26.

(Iх| -2)²+ (|у| -1)²= 4

Ответ:

На координатной плоскости отметьте штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют следующим неравенствам (27—40):

Задание 27.

Ответ:

Задание 28.

Указание:

Выполните параллельный перенос фигуры, построенной в задании 27.

Задание 29.

Ответ:

Задание 30.

Указание:

Выполните параллельный перенос фигуры, построенной в задании 29.

Задание 31.

Ответ:

Задание 32.

Ответ:

Задание 33.

Ответ:

Задание 34.

Ответ:

Задание 35.

Ответ:

Задание 36.

Ответ:

Задание 37.

Ответ:

Задание 38.

Ответ:

Задание 39.

Ответ:

Задание 40.

Указание:

Выполните параллельный перенос фигуры, построенной в задании 39.

Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости следующими соотношениями (41—46).

Задание 41.

Ответ:

S_ABCD = 6

Задание 42.

Решение:

Фигура, определяемая заданными неравенствами, — прямоугольник ABCD

Стороны прямоугольника лежат на следующих прямых: (АB) на у = х + 2; (ВС) на у = 6 - х; (DC)
на у = х - 3; AD на у = -1 - х. Координаты вершин:

В (2; 4),

D (1; -2)

Тогда

откуда:

Ответ:

Задание 43.

Указание:

Ответ:

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

Решение:

Запишем данное равенство в виде

||у - х - |у + 1|| = (у - х) + (у + 1)

Это равенство справедливо только в том случае, если пара чисел (х; у) удовлетворяет одной из следующих систем неравенств:

Отметим штриховкой в плоскости (х ; у) множество точек, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам, а также неравенству

(х + 1)² + (у + 1)²< 2

Мы видим, что площадь заштрихованной области равна

площади круга радиуса

Следовательно, искомая площадь равна

Ответ:

Задание 46.

Указание:

См. решение задания 45.

Ответ:

Задание 47.

При каких значениях р площадь фигуры, заданной на координатной плоскости условием

равна 24?

Решение:

Очевидно, что р > 0. Перепишем неравенство в виде

и выполним замену переменных, полагая

Построим фигуру, задаваемую в плоскости переменных (u; v) неравенством

и найдем ее площадь

Легко установить, что это параллелограмм. Сторона DC параллельна координатной оси Оv и равна по длине 1. Высота параллелограмма равна

а его площадь

Фигура

получается из построенной растяжением вдоль обеих осей в р раз. Следовательно, ее площадь

Таким образом, и площадь фигуры, задаваемой неравенством

равна

поскольку она получается параллельным переносом из фигуры

Теперь вычисляем требуемое значение

Ответ:

р = 6

Задание 48.

Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств

При каких значениях а эта площадь является наибольшей?

Решение:

Положим u = х - a; v = у - (а² - 4а + 2), Тогда площадь исходной фигуры будет равна площади фигуры, задаваемой неравенствами

Эти неравенства задают непустое множество лишь при выполнении условия

т. е. при

При этих значениях а получаем квадрат с диагональю |ОА| = 12a - 2а² - 2

Его площадь S = 2(а² - 6а + 1)². Наибольшее значение площадь квадрата принимает при а = 3. Имеем S_max = S(3) = 128.

Ответ:

S(a) = = 2(a² - 6a + 1)², S_max = 128 при а = 3.

Задание 49.

При каких значениях а система

имеет хотя бы одно решение?

Ответ:

Задание 50.

При каких значениях а система

имеет хотя бы одно решение?

Указание:

Постройте графики данных уравнений и проследите, как меняется график первого уравнения при изменении параметра а.

Ответ:

Решите следующие уравнения и системы уравнений (51—66):

Задание 51.

|х-3| + 2|х+1| = 4

Ответ:

{-1}

Задание 52.

|х + 5| + |х - 8| = 13

Ответ:

[-5;8]

Задание 53.

2|х-5| = 3|2х - 5| - 4|х - 1| + 1

Ответ:

Задание 54.

|х| + |х - 2| + |2х - 1| = 4х - 1

Решение:

Раскрывая знак модуля, получаем на каждом из указанных ниже интервалов:

1) при

откуда

2) при

откуда

3) при

откуда х = 1;

4) при

откуда получаем, что

Ответ:

1

Задание 55.

3||х - 1| = 3|х| - 2

Указание:

См. решение задания 56.

Ответ:

Задание 56.

||х² - Зх| - 5| = х - 1

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Для первой из них записываем равносильную совокупность двух систем:

Решив эти системы, получаем

Аналогично вторая система равносильна следующей совокупности:

откуда

Ответ:

Задание 57.

х|х| + 2| х - 2| = 3

Ответ:

Задание 58.

|х² - 4х| = х² + х - 5| - 3

Ответ:

Задание 59.

|х² - 2х -3| + 2|х -2| = 5

Решение:

Запишем уравнение в виде

|х - 3||х + 1| + 2|х - 2| = 5

Раскрывая знак модуля на каждом из указанных ниже интервалов, получаем:

1)

х < -1 => х² - 2х - 3 - 2х + 4 = 5, т. е. х² - 4х - 4 = 0, откуда

Однако оба эти корня не удовлетворяют условию х < -1.

2)

т. е. х² = 2, откуда

В ответ войдет только значение

3)

т. е. х² - 4х + 6 = 0. Это уравнение решений не имеет.

4)

х > 3 => х² - 2х - 3 + 2х - 4 = 5, т. е. х² = 12. Учитывая условие х > 3, получаем

Ответ:

Задание 60.

|х² - х|+ |х² - Зх + 2| = 2

Ответ:

{0; 2}

Задание 61.

Указание:

х = 0 не входит в область допустимых значений.

Ответ:

{8}

Задание 62.

Указание:

х = 1 не входит в область допустимых значений.

Ответ:

Задание 63.

Ответ:

Задание 64.

Решение:

Из второго уравнения имеем, что 2у — 4 = -х. Подставив это выражение в первое равенство, получим

3|х + 1| + х = 20, откуда следует:

1)

т.е.

тогда

2)

не подходит;

3)

х > 0 ==> Зх + 3 + х = 20, т. е.

тогда

Ответ:

Задание 65.

Ответ:

Задание 66.

Решение:

Данная система равносильна совокупности

Первая из этих систем приводит к уравнению |х + 2| = - х - 3, которое не имеет решений. Решаем вторую систему. Подставляя у = х - 6 в первое уравнение, получаем |х + 2| = 9 - х, откуда

а тогда

Ответ:

Задание 67.

Функция f(x) определена на всей числовой оси, является нечетной, периодической с периодом 4 и на отрезке [0; 2] ее значения вычисляются по формуле f(x) = 1 - |х - 1|. Решите уравнение

2f(x)f(x - 8) - 5f(x + 12) + 2 = 0

Решение:

Используя перио- у личность f(x), записываем уравнение в виде 2(ƒ(х))² - 5ƒ(x) + 2 = 0, откуда

Далее, используя условие, получим

График функции у = ƒ(x) на [-2, -2] изображен на рис.

Теперь решаем уравнения:

1 - [х - 1| = 2, откуда х € 0;

откуда

Эти решения будут повторяться с периодом, равным 4.

Ответ:

Задание 68.

Функция f(x) определена на всей числовой оси, является четной, периодической с периодом 4 и на отрезке [0; 2] ее значения вычисляются по формуле f(x) = |х - 1| - 1. Решите уравнение

2f(x + 4)f(x) + 5f(x + 16) + 2 = 0

Указание:

См. решение задания 67.

Ответ:

Задание 69.

Найдите все значения а, при каждом из которых все решения уравнения 4 |х - За| + 6а - 24 + х = 0 принадлежат отрезку [6; 12]. Найдите эти решения.

Решение:

Данное уравнение равносильно совокупности двух следующих систем:

Решение первой системы дает:

при

второй х = 6а - 8 при

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ:

при

при

при

Задание 70.

Найдите все значения а, при каждом из которых все решения уравнения 3|х + 2а| - За + х - 15 = 0 принадлежат отрезку [4; 9]. Найдите эти решения.

Ответ:

При

при

при

Задание 71.

При всех значениях а решите уравнение

Ответ:

при

при

при

Указание:

Должно выполняться неравенство 18х - х² - 72 > О, откуда

Далее см. решение задачи 69.

Задание 72.

При всех значениях а решите уравнение

Ответ:

при

при

при

При решении задач 73—76 используйте следующие простые неравенства, справедливые для любых чисел и и v:

Подумайте, когда выполняются равенства?

Задание 73.

Найдите все а, при которых среди решений уравнения

2 |х - а| + |2х - а - 6| = |6 - а|

имеется ровно одно целое число.

Решение:

Положим u = 2х - 2а, v = 2х - а - 6. Тогда уравнение примет вид |u| + |v| = |u — v|, а также равенство выполняется только в том случае, если и и v имеют разные знаки. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности систем неравенств:

Отметим в плоскости (а, х) штриховкой область, в которой выполняются эти неравенства.

Мы видим, что при а = б уравнение имеет в качестве целочисленного решения только число х = 6. Далее находим, что

и т. д., а также

и т. д. Единственное целое решение уравнение будет иметь лишь при

Ответ:

Задание 74.

Найдите все а, при которых среди решений неравенства

имеются ровно два натуральных числа.

Указание:

Неравенство выполнено только в том случае, если выражения (х - а - 3) и (х + 2а - 9) имеют разные знаки (в этом случае выполняется равенство). Далее см. решение задания 73.

Ответ:

Задание 75.

При каких а система уравнений

имеет хотя бы одно решение?

Решение:

Для выполнения первого равенства необходимо, чтобы

откуда

При этих значениях а график первого уравнения — окружность с центром О(0; 0) и радиусом

Обозначив

запишем второе уравнение в виде |u| + |v| = u + v. Последнее равенство справедливо только при

т. е. при

Отметим в плоскости (х; у) штриховкой эту область.

Окружность

пересекает с заштрихованной областью (т.е. исходная система имеет решения) при выполнении неравенства

Это неравенство выполняется лишь при а = 2, поскольку

это число и является решением.

Ответ:

{2}.

Задание 76.

При каких а система неравенств

имеет хотя бы одно решение?

Указание:

Первое неравенство справедливо только в том случае, если

Далее рассмотрите отдельно случай

При а > 0 решение аналогично решению задания 75.

Ответ:

• Использование графических методов (построение графиков, штриховка областей, отвечающих условиям задач) существенно облегчает решение приведенных ниже задач.

Установите, сколько решений в зависимости от а имеют следующие уравнения (77—84):

Задание 77.

||х - 1| - 2| = а

Ответ:

При

=> нет решений; при

два решения; при

четыре решения; при а = 2 => три решения.

Задание 78.

2 |х| + | х - 1| = а

Ответ:

При

нет решений, при а = 1 => одно решение; при

два решения.

Задание 79.

х|х - 4| = а

Решение:

Имеем

График этой функции изображен на рис.

Ответ:

при

одно решение; при

два решения; при

три решения.

Задание 80.

|х² - 4х + 3| = а(х - 1)

Решение:

Запишем уравнение в виде |х - З||х - 1| = а(х - 1). Отметим, что х = 1 — решение этого уравнения при любом а. Теперь построим график функции.

Ответ:

при

два решения; при

одно решение; при

три решения.

Задание 81.

|х³ + 8| = а(х + 2)

Ответ:

При

два решения; при

одно решение; при

три решения.

Задание 82.

|х⁴ - 16| = а(4 - х²)

Решение:

Запишем уравнение в виде

(х² + 4)|4 - х²| = а(4 - х²)

Отметим, что числа х = ±2 - решения этого уравнения при любом а. Далее рассмотрим функцию

Построим ее график

и запишем ответ.

Ответ:

при

четыре решения; при

два решения; при а = 4 => три решения; при

четыре решения; при

два решения.

Задание 83.

Ответ:

При

нет решений; при а = 2 => два решения; при

четыре решения.

Задание 84.

Ответ:

При

нет решений; при а = 0 => одно решение; при

два решения; при

три решения; при

четыре решения.

Задание 85.

При каких значениях а уравнение 3|х - 1| + 2 = ах имеет ровно два решения?

Ответ:

(2;3)

Задание 86.

При каких значениях а уравнение 2|х + 3| - 3|х + 4| + 3| х + 5| = ах имеет два различных решения?

Решение:

Построим график функции у = 2|х + 3| - 3|х + 4| + 3|х + 5|.

Штриховкой отметим те углы, в которых прямая у = ах пересекает построенный график ровно в двух точках.

Ответ:

Задание 87.

При каких значениях а уравнение х|х + 2а| = а - 1 имеет единственное решение?

Решение:

Рассмотрим два случая.

1) Пусть а < 0. Построим график функции у = х|х + 2а|.

Тогда уравнение имеет единственное решение, если а - 1 < 0 или если а - 1 > а². Второе неравенство решений не имеет. Получаем, что подходят все значения а < 0. Очевидно, также подходит а = 0.

2) Пусть а > 0.

Тогда уравнение имеет единственное решение при а - 1 > 0, т. е. а > 1, а также в случае, если а - 1 < -а², т. е. а² + а - 1 < 0. Решая последнее неравенство и учитывая, что а > 0, получаем

Объединяя все решения, записываем ответ:

Ответ:

Задание 88.

При каких значениях а уравнение

|х² - 2х| + |х² - Зх + 2| = х² - 4х + а

имеет ровно три различных решения?

Решение:

Запишем уравнение в виде

|х² - 2х| + |х² - Зх + 2| - |х - 2|² = а - 4, т. е.

|х - 2|(|х| + |х - 1| - |х - 2|) = а - 4

и построим график левой части этого уравнения.

Получаем кривую, состоящую из кусков парабол. Три решения получаются только в том случае, если а - 4 = 0 или

Значит, что

Ответ:

Задание 89.

При каких а система уравнений

имеет единственное решение?

Решение:

при х< 0, а при

эта функция не определена. Графиком функции у = -(х + а)² + 3 - а — является парабола с вершиной
А (-а; 3 - а).

Точка пересечения графиков будет единственной, если

либо у(-а) = 1. Неравенство

т. е.

дает а € [-2; 1]. Число а = -2 следует исключить, поскольку в этом случае парабола пересекает ось Оу левой ветвью в точке у = 1, т. е. система не имеет решений. Уравнение у(-а) = 1 имеет вид 3 - а = 1, откуда а = 2.

Ответ:

Задание 90.

При каких а система уравнении

имеет хотя бы одно решение?

Решение:

Имеем

при х < 0; (х - а)² + (у - За + 2)² = 4 — окружность радиуса 2, центр которой М(а; За - 2) с изменением а движется по прямой у = Зх - 2.

Точкой пересечения прямой у = х (перпендикуляра к у = -х в точке О(0; 0)) и прямой у = Зх - 2 является точка М₁(1; 1). Расстояние от М₁ до О равно

Поэтому окружность будет пересекаться с лучом у = -х(х < 0) только в том случае, если ее центр М(а; За - 2) расположен на прямой у = Зх - 2 между точкой М₂(0; -2), расстояние от которой до О(0, 0) равно 2, и точкой М₃, где М₃ — центр окружности радиуса 2, касающейся луча у = -х(х < 0), включая саму точку М₃.

Так как у = -х — касательная к окружности (х - а)² + (у - За + 2)² = 4, то уравнение

(х- а)² + (-х- За + 2)²=4

должно иметь единственное решение. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, приравнивая дискриминант квадратного трехчлена нулю, получаем

Следует взять положительное значение а, т. е.

Легко видеть, что точка М₂ получается при а = 0.

Ответ:

Задание 91.

При каких а уравнение

|х² - 6х + 5| = ах - 1

имеет единственное решение?

Ответ:

Решите следующие уравнения (92—98):

Задание 92.

|х - 1| + 2х = а

Ответ:

При

при

Задание 93.

х|х - 4| = а

Решение:

Построим график функции у = х|х - 4| и найдем абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = а

Имеем: х₁ и х₂ — корни уравнения 4х - х² = а, т. е. х² - 4х + а = 0, откуда

х₃ - больший корень уравнения х² - 4х - а = 0, откуда

Ответ:

при

при

при

при

при

Задание 94.

|х+1 + а|х - 2| = 3

Ответ:

при

при

при

х = 2

при

Задание 95.

|х² - 4х + 3| = а|х - 1|

Указание:

Запишите уравнение в виде |х - 3||х - 1| = а|х - 1|.

Ответ:

при

при

при

при

при

Задание 96.

х² + Зх = |а(х + 3)|

Решение:

Запишем уравнение в виде х(х + 3) = |а||х + 3|. Отметим, что х = -3 — решение уравнения при любом а. Если

то

Построим график этого уравнения.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 97.

х² + |х + а| - 2 = 0

Решение:

Раскрывая модуль, получаем

Решим эти уравнения:

Строим график:

Ответ:

при

при

при

при

при

при

Задание 98.

а(х - 1)² - х - 3| + 2 = 0

Ответ:

При

при

при

при

при