Прямая, окружность, парабола и гипербола.
Некоторые приемы построения графиков функций

• Уравнение вида

ах + bх + с = 0

называется общим уравнением прямой. Мы уже знаем, что каждая прямая записывается таким уравнением и, обратно, каждое такое уравнение определяет прямую. Если уравнение прямой записано в виде у = kx + b, то число k называется ее угловым коэффициентом. При этом

т.е. совпадает с тангенсом угла наклона прямой L к оси Ох

Признаком параллельности двух прямых L и L₁ является равенство их угловых коэффициентов: k = k₁.

Признаком перпендикулярности прямых L и L₂ является соотношение kk₂ = -1.

Наконец, уравнение

y - y₀ = k(x - x₀)
'
является уравнением прямой, проходящей через точку А(х₀; у₀) и имеющей угловой коэффициент k, а уравнание

— уравнением прямой, проходящей через две данные точки А(х₀; у₀) и В(х₁; y1).

Задание 1.

Определите точки пересечения прямой 2х - Зу -- 6 = 0 с координатными осями и постройте эту прямую.

Ответ:

А(3; 0), В(0; -2)

Задание 2.

Запишите уравнение прямой, проходящей через данную точку А(х₀; у₀) и образующей с осью Ох угол

если:

а)

б)

в)

Ответ:

а)
у = х - 1;

б)
у = 3 - х;

в)

Задание 3.

Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х + 3 и проходящей через точку А(-3; 2).

Ответ:

у = 2х + 8

Задание 4.

Запишите уравнение прямой, перпендикуляр,ной прямой у = -5х + 3 и проходящей через точку А(5;4)

Ответ:

Задание 5.

Запишите уравнение сторон треугольника, если известны его вершины А(5; -4), В(-1; 3) и С(-3; -2).

Решение:

Используя общее уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, для прямой (АВ) имеем

т. е. 7х + 6у - 11 = 0.

Аналогично получаем: (АС) х - 4у + 11 = 0, (ВС) 5х - 2у + 11 = 0.

Задание 6.

Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2, 1) перпендикулярно прямой, проходящей через точки М₂(5; 3) и М₃(3; -4).

• Пусть А(х₀; у₀), B(х₁у₁) — две данные точки; тогда точка С

лежит на прямой, проходящей через точки А и В, и делит отрезок АВ пополам. Используйте этот факт при решении задний 7, 8.

Решение:

Уравнение прямой (М₂М₃) имеет вид 7х - 2у - 29 = 0. Ее угловой коэффициент равен

Поэтому уравнения прямых, перпендикулярных данной прямой, имеют вид

Подставляя в это равенство координаты точки М₁ (2; 1), находим

Отсюда следует нужное нам уравнение.

Ответ:

2х + 7у - 11=0

Задание 7.

Найдите координаты точки О, симметричной тс)чке Р(-5; 13) относительно прямой 2х - Зу - 3 = 0.

Решение:

Проведем через точку Р (-5; 13) прямую, перпендикулярную прямой 2х -Зу - 5 = 0. Ее уравнение есть Зх + 2у - 11 = 0.

Найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнений

откуда х = 3, у = 1. Точка С(3; 1) является серединой отрезка PQ, где Р (-5; 13), a Q(x₀; у₀) — искомая точка. Поэтому

откуда Q(11l; -11).

Ответ:

Q (11;-11)

Задание 8.

Составьте уравнение прямой, параллельной прямым 2х + Зу -6 = 0 и 4х + 6у+ 17 = 0 и проходящей посередине между ними.

• Уравнение

(х - х₀)² + (у - у₀)² = R²

определяет окружность радиуса R с центром в точке С(х₀; у₀).

Решение:

Прямая 2х + Зу - 6 = 0 проходит через точку А(0; 2), а прямая 4х + 6у + 17 = 0 — через точку В

Следовательно, прямая, параллельная данным и проходящая посередине между ними, имеет уравнение 2х + Зу + 6 = 0 и проходит через точку C

где С — середина отрезка АВ. Отсюда находим

а тогда уравнение искомой прямой можно записать в виде:

8х + 12у + 5 = 0.

Заметим, что это уравнение есть полусумма уравнений 8х + 12у - 24 = 0 и 8х + 12у + 34 = 0, задающих известные нам прямые.

Ответ:

8х + 12у + 5 = 0

Задание 9.

Запишите уравнение окружности, если:

а) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3), а ее радиус R = 7;

б) окружность проходит через точку А(2; 6), а ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

в) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров этой окружности.

Ответ:

а) (х - 2)² + (у + З)² = 49;

б) (х + 1)² + (у - 2)² = 25;

в) (х - 1)² + (у - 4)² = 8

Задание 10.

Запишите уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая Зх - 4у + 25 = 0 является касательной к этой окружности.

Решение:

Через начало координат О (0; 0), т. е. через центр окружности, проведем прямую, перпендикулярную прямой Зх - 4у + 25 = 0. Ее уравнение имеет вид 4х + Зу = 0. Найдем точку пересечения этих прямых, т. е. точку касания прямой Зх - 4у + 25 = 0 и искомой окружности. Решаем систему

откуда х = 3, у = -4. Таким образом, С(3; -4) — точка касания, а

— радиус искомой окружности.

Ответ:

х² + у² = 25

Задание 11.

Запишите уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 1) и Б(-1; 3), если ее центр лежит на прямой Зх - у -2 = 0.

Решение:

Центр искомой окружности О (х₀; у₀) - точка пересечения прямой Зх - у - 2 = 0 и прямой, проходящей через точку С(1;2) (середину отрезка АВ), перпендикулярно прямой (АВ)

Ее уравнение имеет вид у - 2х = 0 (см. решение задачи 6).

Тогда

откуда О (2; 4). Радиус искомой окружности равен длине отрезка ОВ, т. е.

Ответ:

(х - 2)² + (у - 4)² = 10

Задание 12.

Запишите уравнение прямой, проходящей через центры двух данных окружностей:

а) (х - З)² + у² = 9, (х + 2)² + (у -1)2 = 1;

б) х² + у² - 4х + 6у = 0, х² + у² - 6х = 0.

Ответ:

а) х + 5у - 3 = 0;

б) 3х - у - 9 = 0

Задание 13.

Запишите уравнения касательных к окружности х² + у² + + 2х - 19 = 0, проведенных из точки А (1; 6).

Указание:

Запишите уравнения искомых прямых в виде у = а(х - 1) + 6, подставьте у = а(х — 1) + 6 в уравнение окружности и приравняйте нулю дискриминант полученного квадратного уравнения.

Ответ:

у + 2х - 8 = 0, х - 2у + 11 =0.

Задание 14.

Установите, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найдите координаты ее вершины А и координаты точек пересечения с осями координат:

а)
у = 4х² - 8х + 7;

б)

в)
у = -х² + 2х + 3.

Ответ:

а) А(1; 3); с осью Ох не пересекается; С (0; 7);

б) А(-2; -3);

в) А(1; 4); В₁(-1; 0); В₁(3; 0); С(0; 3).

Задание 15.

Найдите квадратный трехчлен, наибольшее значение которого, равное 3, достигается при х = 2, если известно, что его график проходит через точку О(0; 0).

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х - 2)² + 3, где а < 0. Подставляя в это равенство х = 0 и у = 0, получаем

Ответ:

Задание 16.

График квадратного трехчлена, свободный член которого равен 1, симметричен относительно прямой х + 2 = 0 и проходит через точку А(2; 7). Запишите этот квадратный трехчлен.

Ответ:

Задание 17.

Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = -1 и проходит через точки М₁(-2; 2) и М₂(2; 26).

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х + 1)² + b. Подставляя в это равенство координаты точек М₁(-2; 2) и М₂(2; 26), получаем систему

откуда а = 3, b = -1. Итак, у= 3(х + 1)² - 1 = Зх² + 6х + 2.

Ответ:

у = = 3х²+ 6х + 2

Задание 18.

Найдите квадратный трехчлен, график которого симметричен относительно прямой х = 1 и проходит через точки M₁(2; -1) и М₂(-4; 47).

Ответ:

у = 2х² - 4х - 1

Задание 19.

Парабола у = х² - 4х + 2 пересекается с прямой у = х + 8 в точках А и В. Запишите уравнение параболы, проходящей через А, В и точку О(0; 0).

Решение:

Находим координаты точек А и В. Решаем уравнение

х² - 4х + 2 = х + 8, т. е. х² - 5х - 6 = 0 и получаем: А (-1; 7), В (6; 14).

Уравнение искомой параболы имеет вид у = ах² + bх. Подставляя в это равенство координаты точек А и В, приходим к системе:

откуда

Ответ:

Задание 20.

График квадратного трехчлена, наименьшее значение которого, равное нулю, достигается при х - 1, проходит через точку А(-1; 4). Составьте уравнения касательных к этому графику, проходящих через начало координат.

Решение:

Из условия следует, что квадратный трехчлен имеет вид у = а(х - 1)², где а > 0. Подставляя в это равенство координаты точки А (-1; 4), находим а = 1, откуда у = (х - 1)² = х² - 2х + 1. Уравнения всех прямых, проходящих через точку О (0; 0), имеют вид у = ах. Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения х² - 2х + 1 = = ах, т. е. х² - (2 + а)х + 1 = 0, имеем D = (а + 2)² - 4 = а² + 4а = О, откуда a₁= 0, а₂ = -4. Таким образом, получаем искомые уравнения касательных: у = 0 и у = -4х.

Ответ:

у = 0, у = -4х

Задание 21.

Запишите уравнение параболы, проходящей через данные точки А, В и С, если:

а)А(0;-1),В(1; 1), С(-1; 2);

б)А(-1;0}, В(1;4), С(2; 3).

• Функция вида

где

a, b, d — действительные числа и

называется дробно-линейной функцией. Кривая, которая служит графиком этой функции, называется гиперболой. Ниже мы установим, что график дробно-линейной функции можно получить из графика простейшей дробно-линейной функции

(графика обратной пропорциональной зависимости) с помощью параллельного переноса,
отражения и растяжения (сжатия) вдоль координатных осей. График функции

изображен на рис.

Отметим, что прямые у =0 и х=0 (координатные оси) являются асимптотами гиперболы

а точка О(0; 0) — ее центром симметрии.

Указание:

Запишите уравнение искомой параболы в виде у = ах² + bх + с и подставьте в это равенство координаты данных в условии точек.

Ответ:

а) у = 2х²- х - 1;

б) у = -х² + 2х + 3

Постройте графики следующих функций и уравнений. Штриховкой укажите области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам (22—26):

Задание 22.

Ответ:

Задание 23.

Почему в заданиях 22 и 23 получаются различные заштрихованные области?

Ответ:

Задание 24.

Ответ:

Задание 25.

Ответ:

Задание 26.

(эта кривая также является гиперболой).

Ответ:

Задание 27.

Составьте уравнения касательных к гиперболе

параллельных прямой у = -4х + 1.

Напомним некоторые приемы, которые часто используются при построении графиков функций. При этом предполагается, что график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0) известен.

• Сдвиги (параллельные переносы) вдоль координатных осей.

Пусть построен график функции у = f(x). Тогда:

1) график функции у = f(x + а) получается из графика функции у - f(x) переносом вдоль оси Ох на а единиц
влево, если а > 0, или на |а| = -а единиц вправо, если а < 0;

2) график функции у = f(x) + b получается из графика функции у = f(x) переносом на b единиц вверх, если b > О, или на |b| = -b единиц вниз, если b < 0;

3) график уравнения f(x -а, у) = О получается из графика уравнения f(x, у) = О переносом на |а| вправо, если а > 0, и влево, если а < 0. Аналогичное правило справедливо и для аргумента у, т. е. график f(x, у - b) = О получается из графика f(x, у) = 0 переносом на |b| единиц вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0.

Решение:

Уравнение касательной должно иметь вид у = -4х+ b.

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

т. е. 4х² - bх + 1 = 0, имеем D = b² - 16 = 0, т.е. b₁ = -4; b₂ = 4. Итак, получаем искомые уравнения касательных: у = -4х - 4 и у = -4х + 4.

Ответ:

у = -4х - 4; у = -4x + 4

Постройте графики следующих функций и уравнений (28—34):

Задание 28.

у = х²; у = (х - 2)²; у = (х -2)² - 3

Ответ:

Задание 29.

х² + у² = 4; (х + 1)² + у² = 4; (х + 1)² + (у - З)² = 4

Ответ:

Задание 30..

Ответ:

Задание 31.

Ответ:

Задание 32.

х² - 6х + у² + 2у - 6 = 0

Ответ:

Задание 33.

(jc - 1)(у + 2) = 2х - 3

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Ответ:

Задание 34.

ху + Зу - 2х = 7

Указание:

Преобразуйте уравнение к виду

Ответ:

Задание 35.

Даны окружности:

а) (х - 1)² + (у + 1)² = 4;

б) х² - 4х + у² + 6у = 0

Запишите уравнение образа каждой из них при параллельном переносе, если ее центр смещается в точку С(-1; 2).

Решение б):

Запишем уравнение данной окружности в виде (х - 2)² + (у + З)² = 13. При параллельном переносе радиус окружности не меняется. Уравнение окружности радиуса

с центром в точке С(-1;2) имеет вид (х + 1)² + (у - 2)² = 13.

Ответ:

а) (х + 1)² + (у - 2)² = 4

б) (х + 1)² + (у - 2)² = 13

Задание 36.

Запишите уравнение образа параболы у = х² + + 2х + 2 при параллельном переносе, если ее вершина смещается в точку A(x₀; у₀), где

а) А(0; 0);

б) А(-3; 4);

в)А(-1; 1).

Решение б).

Парабола у = х² + 2х + 2 = (х + 1)² + 1 получается из параболы у = х² переносом вершины в точку А (-1; 1). Если вершина этой параболы при параллельном переносе сместится в точку А (-3; 4), то ее уравнение примет вид у = (х + З)² + 4.

а) у = х²

б) у = х² + 6х + 13

в) у = х² + 2х + 2

Ответ:

Задание 37.

Запишите уравнение образа гиперболы

при параллельном переносе, если ее центр симметрии смещается вточку А(-3; 1).

• Зеркальное отражение относительно координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) (или уравнения f(x, у) = 0). Тогда:

1) графики функций у = f(x) и у = f(-x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(-x, у) = 0) симметричны относительно оси Оу,

2) графики функций у = f(x) и у = -f(x) (уравнений f(x, у) = 0 и f(x; -у) = 0) симметричны относительно оси Ох.

Постройте графики следующих функций и уравнений (38—42).

Ответ:

Задание 38.

у = 2 + х; у = 2 - х; у = -(2 + х)

Ответ:

Задание 39.

у = х² + 2х; у = х² - 2х; у = -(х² + 2х)

Ответ:

Задание 40.

Ответ:

Задание 41.

Ответ:

Задание 42.

(х - I)² + у²=1;(х + 1)² + у²=1

• Растяжение (сжатие) графика вдоль координатных осей.

Пусть задан график функции у = f(x) и число k > 0. Тогда:

1) график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием вдоль оси Ох в k раз, если

(при k < 1 получает растяжение в 1/k раз);

2) график функции у = kf(x) получается из графика функции у = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз, если

(при k < 1 получаем сжатие в 1/k раз).

Отметим также, что графики уравнений f(kx, у) = 0, f(x, ky) = 0 получаются из графика уравнения f(x, у) = 0 сжатием вдоль соответствующей координатной оси в k раз, если k > 1 (при k < 1 получаем растяжение в 1/k раз).

Постройте графики следующих функций и уравнений (43—50). Отметьте штриховкой области, координаты точек которых удовлетворяют указанным неравенствам.

Ответ:

Задание 43.

у = х²; у = (2х)²; 2у = х²

Ответ:

Задание 44.

Ответ:

Задание 45.

(кривая, которая получается при сжатии окружности вдоль координатных осей, называется эллипсом).

Ответ:

Задание 46.

Ответ:

Задание 47.

Ответ:

Задание 48.

Ответ:

Задание 49.

Ответ:

Задание 50.

• При построении эскизов графиков элементарных функций часто используются и такие приемы, как сложение (вычитание) и деление (умножение) графиков.

Постройте графики следующих функций (51—57):

Ответ:

Задание 51.

Ответ:

Задание 52.

Ответ:

Задание 53.

Ответ:

Задание 54.

Ответ:

Задание 55.

Ответ:

Задание 56.

Указание:

Ответ:

Задание 57.

Указание:

Ответ:

Используя различные приемы, постройте графики следующих функций и уравнений (58—71):

Задание 58.

у = 2(х- 1)² + 3

Ответ:

Задание 59.

у = 4х - х² - 6

Указание:

у = -(х - 2)² - 2

Ответ:

Задание 60.

Указание:

Ответ:

Задание 61.

Ответ:

Задание 62.

Ответ:

Задание 63.

Ответ:

Задание 64.

Указание:

Ответ:

Задание 65.

Указание:

Ответ:

Задание 66.

3(х - 1)² - 4(у + 1)² = 0

Указание:

Постройте две пересекающиеся прямые Зх² = 4у², затем выполните параллельный перенос, при котором точка их пересечения сместится в точку А(1; -1).

Ответ:

Задание 67.

2х² - у² + 8х + 2у + 7 = 0

Указание:

Ответ:

Задание 68.

(х + 2)² + 4(у - З)² = 16

Ответ:

Задание 69.

Зх² + 2у² - 12х + 4у + 2= 0

Указание:

Ответ:

Задание 70.

х² - ху + 1 = 0

Указание:

Ответ:

Задание 71.

ху + х - 2у - 4 = 0

Указание:

Ответ:

Найдите число различных решений уравнений в зависимости от а (72—80):

Задание 72.

Ответ:

При

два решения.

Задание 73.

Ответ:

При

два решения, при

одно решение; при

нет решений.

Задание 74.

Решение:

Положим х² = t. Тогда

Построим при t > 0 график функции

Так как

при t > 0, причем наименьшее значение у = 2 достигается при t = 1, то получаем: при
а < 2 => уравнение

не имеет положительных решений, при а = 2 => одно решение; а > 2 => два решения. Теперь находим число решений исходного уравнения.

Ответ:

при

нет решений, при а = 2 => два решения; при

четыре решения.

Задание 75.

Решение:

Построим график функции

Так как

то х = -1 - точки минимума функции у(х) и у(-1) = 3

Поэтому получаем следующий ответ.

Ответ:

при

одно решение; при а = 3 => два решения; при

три решения.

Задание 76.

х³ + 2 = ах

Указание:

Запишите уравнение в виде

Далее см. решение задачи 75.

Ответ:

При

одно решение; при а = 3 => два решения; при

три решения.

Задание 77.

х³ - ах² + 1 = 0

Указание:

Запишите уравнение в виде

Ответ:

при

одно решение; при

два решения; при

три решения.

Задание 78.

Решение:

Имеем

Запишем уравнение в виде

График этой функции — гипербола, принимающая все значения, кроме у = 3, по одному разу. Поскольку

нужно также исключить значение

Ответ:

при

одно решение; при

нет решений.

Задание 79.

Решение:

Запишем уравнение в виде

положим

Заметим, что

Сначала найдем число решений уравнения

не меньших

Построим график функции

при

Отметим, что

а наименьшее значение y(t) равно 2. Поэтому уравнение

при

не имеет решении, при

и

— имеет одно решение, а при

— два решения, удовлетворяющих условию

Отдельно рассмотрим случай

Уравнение

т. е.

имеет одно решение (мы находим число различных решений). При всех остальных

уравнение х² + х + 1 = 3t будет иметь два различных решения. Теперь легко записываем ответ.

Ответ:

при

нет решений; при

два решения; при

четыре решения; при

три решения.

Задание 80.

(х² + 1)(х² + 2ах + а² + 1) = 2х

Указание:

Запищите уравнение в виде

и постройте графики функций

Ответ:

При

одно решение х = 1, при других а решений нет.

Решите системы неравенств и уравнений (81—87):

Задание 81.

Ответ:

При

при

при

при

Задание 82.

Решение:

На координатной плоскости (х, а) штриховкой отметим точки, координаты которых удовлетворяют нашей системе неравенств

Ответ:

при

при

при

при

Задание 83.

Ответ:

При

при

при

Задание 84.

Решение:

Перепишем неравенства в виде

и штриховкой на координатной плоскости (х; а) отметим точки, координаты которых удовлетворяют этой системе неравенств

Записываем решение данной системы.

Ответ:

при

при

при

при

Задание 85.

Указание:

Постройте графики

и (х + 1)² + (у + 1)²=1

Ответ:

{(-1; -2)}

Задание 86.

Указание:

Постройте графики функций

и у = 2х² - 4х + 3

Ответ:

86. {(1; 1)}.

Задание 87.

Решение:

Запишем второе уравнение в виде

Это окружность радиуса

с центром (а; -а), лежащим на прямой у = -х

Пересечение с гиперболой

возможно только в том случае, если а = 0. При а = 0 получаем решения х₁ = 1, у₁ = 1 и х₂ = -1, у₂ = -1.

Ответ:

при

при других а решений нет.

Задание 88.

Прямая проходит через точку А(2; 1) и пересекает параболу у = х² - 4х в точках, сумма квадратов абсцисс которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

Запишем уравнение прямой в виде у = а(х - 2) + 1. Тогда точки пересечения этой прямой и параболы у = х² - 4х

имеют абсциссы x₁и х₂, являющиеся корнями квадратного уравнения

а(х - 2) + 1 = х² - 4х, т. е. х² - (а + 4)х + 2а - 1 = 0. Так как

х₁² + х₂² = (x₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = (а + 4)² - 2х₁х₂ = (а + 4)² - 2(2а - 1) = а² + 4а + 18 = (а + 2)² + 14, то наименьшее значение сумма квадратов абсцисс принимает при а = -2.

Ответ:

у = -2х + 5

Задание 89.

Прямая проходит через точку А(1; 5) и пересекает параболу у = х² + х+1 в точках, сумма ординат которых наименьшая. Запишите уравнение этой прямой.

Решение:

Запишем уравнение прямой в виде у = а(х - 1) + 5. Тогда точки В и С пересечения этой прямой с параболой у = х² + х + 1

имеют абсциссы x₁ и х₂, являющиеся корнями квадратного уравнения

а(х - 1) + 5 = х² + х + 1, т. е. х² - (а - 1)х + а - 4 = 0.

Заметим,

а сумма ординат точек пересечения равна

Следовательно, сумма ординат наименьшая при

Искомое уравнение имеет вид

Ответ:

Задание 90.

Прямая проходит через точку Б(1; -3) и пересекает параболу у - 2х - х² в точках, сумма ординат которых наибольшая. Запишите уравнение этой прямой.

Ответ:

-3

Задание 91.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(3; -1) на прямую, пересекающую линию

и проходящую через точки этой линии с ординатами у = 1 и

Решение:

Находим точки В и С пересечения прямой с кривой

Имеем

откуда х= 1, т.е. В (1; 1);

откуда х = 0, т. е.

Записываем уравнение прямой, проходящей через точки В и С:

т. е. х - Зу + 2 = 0. Уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку А (3; -1), имеет вид у = -Зх + 8. Теперь найдем координаты точки пересечения этих прямых, для чего решим систему уравнении:

откуда

Вычисляем расстояние между точками А(3;-1) и D

Имеем

Ответ:

Задание 92.

Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки А(5; 0) на касательную к параболе у = х² + 3, проведенную из точки В(0; 1).

Ответ:

Задание 93.

На оси ординат найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции

у = х² - 2х + 3.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид у = ах + b

Приравнивая нулю дискриминант квадратного уравнения

х² - 2х + 3 = ах + b, т. е. х² - (а + 2)х + 3 - b = 0,

получим D = (а + 2)² - 4(3 - b) = 0, т. е. а² + 4а + 4b - 8 = 0.

Это уравнение должно иметь корни a₁ и а₂ такие, что а₁а₂ = -1 (а₁ и а₂ — угловые коэффициенты искомых касательных; записано условие перпендикулярности этих прямых).

Но а₁а₂= 4b - 8, т. е. 4b -8 = -1, откуда

Ответ:

Задание 94.

На прямой 2х - Зу = 6 найдите точку, через которую проходят две взаимно перпендикулярные касательные к графику функции

Указание:

Запишите уравнения касательных в виде

Далее см. решение задачи 93.

Ответ:

Задание 95.

На координатной плоскости даны точки А(1; 3) и В(5; 2). На прямой, проходящей через точки М(-3; 1) и
N (4; -6), найдите такую точку С, чтобы сумма длин отрезков АС и СВ была наименьшей.

Решение:

Точка С

— это точка пересечения прямых (MN) и (А'В), где А' — точка, симметричная A относительно прямой (MN) (см. задачу 7). Подумайте, почему это так? Теперь последовательно находим:

1) уравнение прямой (MN):

T. e. х + у + 2 = 0;

2) уравнение прямой (АА'):

у - х -2=0;

3) координаты точки К, т. е. точки пересечения прямых (MN) и (АА):

откуда К(-2; 0);

4) координаты точки А (х0, у0); имеем

откуда А'(-5; -3);

5) уравнение прямой (А'В):

т. е. 2у - х + 1 = 0;

6) координаты искомой точки С:

откуда х = -1, у = -1

Ответ:

С(-1; -1)

Задание 96.

Даны точка А(5; 7) и угол, уравнения сторон которого имеют вид у = 0 и у = х+5. Точки В и С лежат на разных сторонах угла. Найдите наименьшее значение периметра треугольника ABC.

Указание:

Наименьший периметр треугольника ABC равен длине отрезка PQ, где Р — точка, симметричная А относительно прямой у = 0, a Q — точка, симметричная А относительно прямой у = х + 5.

Ответ:

Задание 97.

Числа х, у и а удовлетворяют системе уравнений

При каком значении а произведение ху принимает наименьшее возможное значение?

Указание:

Сначала выясните, при каких а данная система имеет решение. Эти значения

Далее из системы выразите произведение ху через а и найдите минимум полученной функции на отрезке

Ответ